Solución bidimensional sin malla de la ecuación no lineal de convección-difusión-reacción mediante el método de Interpolación Local Hermítica

A meshless numerical scheme is developed for solving a generic version of the non-linear convection-diffusion-reaction equation in two-dimensional domains. The Local Hermitian Interpolation (LHI) method is employed for the spatial discretization and several strategies are implemented for the solution of the resulting non-linear equation system, among them the Picard iteration, the Newton Raphson method and a truncated version of the Homotopy Analysis Method (HAM). The LHI method is a local collocation strategy in which Radial Basis Functions (RBFs) are employed to build the interpolation function. Unlike the original Kansa’s Method, the LHI is applied locally and the boundary and governing equation differential operators are used to obtain the interpolation function, giving a symmetric and non-singular collocation matrix. Analytical and Numerical Jacobian matrices are tested for the Newton-Raphson method and the derivatives of the governing equation with respect to the homotopy parameter are obtained analytically. The numerical scheme is verified by comparing the obtained results to the one-dimensional Burgers’ and two-dimensional Richards’ analytical solutions. The same results are obtained for all the non-linear solvers tested, but better convergence rates are attained with the Newton Raphson method in a double iteration scheme.Se desarrolla un esquema numérico sin malla para resolver una versión genérica de la ecuación no lineal de convección-difusión-reacción en dominios bidimensionales. El método de Interpolación Hermitiana Local (LHI) se emplea para la discretización espacial y se implementan varias estrategias para la solución del sistema de ecuaciones no lineal resultante, entre ellas la iteración Picard, el método Newton Raphson y una versión truncada del Método de Análisis de Homotopía. (JAMÓN). El método LHI es una estrategia de colocación local en la que se utilizan funciones de base radial (RBF) para construir la función de interpolación. A diferencia del método original de Kansa, el LHI se aplica localmente y los operadores diferenciales de ecuación límite y gobernante se utilizan para obtener la función de interpolación, dando una matriz de colocación simétrica y no singular. Las matrices analíticas y numéricas jacobianas se prueban para el método de Newton-Raphson y las derivadas de la ecuación de gobierno con respecto al parámetro de homotopía se obtienen analíticamente. El esquema numérico se verifica comparando los resultados obtenidos con las soluciones analíticas unidimensionales de Burgers y Richards bidimensionales. Se obtienen los mismos resultados para todos los solucionadores no lineales probados, pero se obtienen mejores tasas de convergencia con el método Newton Raphson en un esquema de doble iteración

Computational study of particle distribution development in a cold-flow laboratory scale downer reactor

The use of downer reactors (gas-solid co-current downward flow) in the Fluid Catalytic cracking (FCC) process for the upgrading of heavy crude oil into more valuable products has gradually become more common in the last decades. This kind of reactor is characterized by having homogeneous axial and radial flow structures, no back mixing, and shorter residence times as compared with the riser reactor type. Although downer reactors were introduced a long time ago, available information in literature about the multiphase hydrodynamic behavior at FCC industrial scale is scarce. Therefore, it is necessary to conduct experimental and computational studies to enhance the understanding of the hydrodynamics of two-phase co-current downward flow. The Computational Fluids Dynamics (CFD) software, Ansys Fluent, is used to study two-dimensional gas (air) and solid (catalyst particle) flow in a downer section of a cold-flow circulation fluidized bed (CFB) system at a laboratory scale. The implemented computational model is validated by comparing numerical results for solid velocity and volume fraction with measurements carried out on a CFB system using a fiber-optic probe laser velocimeter. According to numerical results obtained for different gas velocity and solid flux, flow development cannot only be estimated by considering solid axial velocity changes along the reactor; it is also necessary to take into account solid volume fraction axial variations as radial profiles can change even when velocity profiles are developed.El uso de reactores tipo downer (flujo de sólidos y gas en dirección de la gravedad) cada día es más común en el proceso de craqueo catalítico (FCC, por su siglas en inglés) para el refinamiento de crudos pesado en productos de mayor valor. Este tipo de reactores es caracterizado por presentar distribuciones axiales y radiales de flujo homogéneas, evitando el retro mezclado, y por tener tiempos de residencia menores en comparación con reactores tipo riser. A pesar de que los reactores downer son empleados desde hacevarias décadas, la información disponible en la literatura acerca del comportamiento hidrodinámico en procesos FCC a escala industrial es escasa. Por lo tanto, es necesario llevar a cabo estudios experimentales y computacionales con el objetivo de mejorar el entendimiento de la hidrodinámica del flujo bifásico en dirección de la gravedad. El software de dinámica de fluidos computacional (CFD, por sus siglas en inglés) Ansys Fluent, es empleado para estudiar el flujo bidimensional de gas (aire) y sólidos (partículas de catalizador) en la sección downer de un sistema frío de lecho fluidizado circulante (CFB, por su siglas en inglés) a escala de laboratorio. El modelo computacional implementado es validado mediante la comparación de resultados numéricos, para las distribuciones de velocidad y fracción volumétrica de sólidos, con las mediciones realizadas en el sistema CFB con una sonda de fibra óptica de velocimetría láser. De acuerdo con los resultados numéricos obtenidos para diferentes velocidades de gas y flux de sólidos, el desarrollo de flujo no puede ser estimado sólo con base en cambios de la velocidad axial a lo largo del reactor. Es necesario considerar las variaciones axiales de la fracción volumétrica puesto que los perfiles radiales pueden cambiar incluso cuando los perfiles de velocidad están desarrollados

Two-Dimensional Meshless Solution of the Non-Linear Convection-Diffusion-Reaction Equation by the Local Hermitian Interpolation Method

A meshless numerical scheme is developed for solving a generic version of the non-linear convection-diffusion-reaction equation in two-dimensional domains. The Local Hermitian Interpolation (LHI) method is employed for the spatial discretization and several strategies are implemented for the solution of the resulting non-linear equation system, among them the Picard iteration, the Newton Raphson method and a truncated version of the Homotopy Analysis Method (HAM). The LHI method is a local collocation strategy in which Radial Basis Functions (RBFs) are employed to build the interpolation function. Unlike the original Kansa´s Method, the LHI is applied locally and the boundary and governing equation differential operators are used to obtain the interpolation function, giving a symmetric and non-singular collocation matrix. Analytical and Numerical Jacobian matrices are tested for the Newton-Raphson method and the derivatives of the governing equation with respect to the homotopy parameter are obtained analytically. The numerical scheme is verified by comparing the obtained results to the one-dimensional Burgers´ and two-dimensional Richards´ analytical solutions. The same results are obtained for all the non-linear solvers tested, but better convergence rates are attained with the Newton Raphson method in a double iteration scheme.Un método sin malla es desarrollado para solucionar una versión genérica de la ecuación no lineal de convección-difusión-reacción en dominios bidimensionales. El método de Interpolación Local Hermítica (LHI) es empleado para la discretización espacial, y diferentes estrategias son implementadas para solucionar el sistema de ecuaciones no lineales resultante, entre estas iteración de Picard, método de Newton-Raphson y el Método de Homotopía truncado (HAM). En el método LHI las Funciones de Base Radial (RBFs) son empleadas para construir una función de interpolación. A diferencia del Método de Kansa, el LHI es aplicado localmente y los operadores diferenciales de las condiciones de frontera y la ecuación gobernante son utilizados para construir la función de interpolación, obteniéndose una matriz de colocación simétrica. El método de Newton-Rapshon se implementa con matriz Jacobiana analítica y numérica, y las derivadas de la ecuación gobernante con respecto al paramétro de homotopía son obtenidas analíticamente. El esquema numérico es verificado mediante la comparación de resultados con las soluciones analíticas de las ecuaciones de Burgers en una dimensión y Richards en dos dimensiones. Similares resultados son obtenidos para todos los solucionadores que se probaron, pero mejores ratas de convergencia son logradas con el método de Newton-Raphson en doble iteración

Thermohydraulic modeling in transient state for evaluation of pipeline shutdown and restart procedures

In order to study shutdown and re-start in heavy crude oil pipelines, a model was developed. It simulates, in a transient state, the behavior of pressure, flow and temperature variables, averaged over the cross-sectional area and as a function of time and the axial coordinate. The model was validated with actual operational data from a test case. Results obtained for different operating points, stopping time, crude properties, topographies and lengths are presented. Additionally, the governing equations are converted to dimensionless expressions in order to obtain the dimensionless numbers relevant to the re-start operation for crude oil pipelines